1前言

　　“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)作為隨機(jī)數(shù)學(xué)的一部分，早已受到各國(guó)數(shù)學(xué)課程設(shè)置者的重視.我國(guó)也在原來(lái)的教學(xué)大綱基礎(chǔ)上，在高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)作了進(jìn)一步的調(diào)整和完善.由于概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程的時(shí)間不長(zhǎng)，教師能否很好地實(shí)施概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，取決于對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解與掌握情況.概率統(tǒng)計(jì)屬于不確定性數(shù)學(xué)范疇，并且在其中有大量與我們的直覺、經(jīng)驗(yàn)、信念相悖的命題，使得概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)成為難點(diǎn).這需要教師具有充足的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)知識(shí)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的思維特點(diǎn).課程改革能否成功實(shí)施，將完全取決于教師[1].因此，高中課程改革實(shí)施之際，調(diào)查高中數(shù)學(xué)教師掌握和了解概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)水平具有一定的意義，研究結(jié)果可為以后更好地開展概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)和研究提供一定的參考.

　　2研究方法

　　2.1被試選擇研究對(duì)象是從大連市所屬高中抽樣選取的.考慮到學(xué)校類型可能對(duì)研究的影響，所以對(duì)調(diào)查學(xué)校進(jìn)行分層抽樣，使選取的教師盡量來(lái)自各種不同類型的學(xué)校.選取大連市省重點(diǎn)高中、市重點(diǎn)高中、市區(qū)普通高中為學(xué)校樣本，對(duì)樣本學(xué)校的高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行整群抽樣.研究對(duì)象共計(jì)68人，其中教齡在4年以下的有15人，教齡在4～10年的有22人，教齡在10～20年的有19人，教齡在20年以上的有12人，學(xué)歷都是本科.總共發(fā)放教師問(wèn)卷68份，實(shí)際回收68份，回收率達(dá)100%，無(wú)剔除無(wú)效問(wèn)卷，得到有效問(wèn)卷68份.

　　2.2研究工具本研究通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查法和訪談法來(lái)收集數(shù)據(jù).(1)問(wèn)卷設(shè)計(jì)借鑒已有研究[2，3]，在深入分析和鉆研教材中關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，以高中數(shù)學(xué)課程中有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的核心概念為考查重點(diǎn)，進(jìn)行問(wèn)卷設(shè)計(jì).教師的概率知識(shí)主要從以下4個(gè)維度進(jìn)行考察：①對(duì)概率的幾種定義(古典定義、統(tǒng)計(jì)定義、幾何定義及公理化定義)的理解及其錯(cuò)誤認(rèn)知的考察;②對(duì)概率、頻率和機(jī)會(huì)的理解;③對(duì)概率值的解釋以及利用其決策的能力;④對(duì)小概率事件、條件概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的理解.教師的統(tǒng)計(jì)知識(shí)主要從2個(gè)方面進(jìn)行調(diào)查：①對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)的理解;②教師的統(tǒng)計(jì)觀念.該調(diào)查問(wèn)卷共由19道題目組成，題目類型為解答題.(2)訪談問(wèn)卷調(diào)查之后，在仔細(xì)分析答卷的基礎(chǔ)上，從中挑選個(gè)別教師進(jìn)行訪談.訪談對(duì)象主要是回答錯(cuò)誤、未作回答和回答獨(dú)特的教師.訪談的主要目的是核查書面回答內(nèi)容的真實(shí)含義，了解使用錯(cuò)誤概念的教師的真實(shí)想法.訪談時(shí)在取得該訪談對(duì)象的同意之后，同時(shí)進(jìn)行了錄音和現(xiàn)場(chǎng)記錄，以便準(zhǔn)確地收集和整理數(shù)據(jù).

　　3研究結(jié)果分析

　　3.1概率知識(shí)掌握情況

　　(1)對(duì)概率的幾種定義的理解調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分教師(占79.4%)對(duì)概率的古典定義理解相對(duì)較好，只有個(gè)別教師算錯(cuò).經(jīng)過(guò)訪談了解到其原因是弄不清基本事件的空間.還有13.2%的教師沒有作出回答，其原因是不會(huì)做.對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義理解的調(diào)查中，答錯(cuò)的有19.1%，未答的有19.1%，只有61.8%的人答對(duì)，表明相當(dāng)一部分教師對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義理解得不好.對(duì)教師是否具有“預(yù)言結(jié)果法”的錯(cuò)誤的調(diào)查結(jié)果顯示，有多達(dá)72%的人答錯(cuò)，26.5%的人未答，只有1.5%的人答對(duì).比如有的教師回答：“無(wú)法判斷，一次試驗(yàn)不能說(shuō)明問(wèn)題.”這表明多數(shù)教師具有“預(yù)言結(jié)果法”的錯(cuò)誤，同時(shí)也反映了教師缺乏統(tǒng)計(jì)觀念.考查教師對(duì)概率幾何定義理解的調(diào)查數(shù)據(jù)表明，60%左右的教師是從幾何定義角度，即通過(guò)面積公式來(lái)求概率，進(jìn)而比較概率的大小.但仍有20%左右的教師未作回答.通過(guò)訪談了解到這是因?yàn)樗麄儗?duì)幾何概型較陌生，不知從何下手.幾何概型是這次高中課程改革中新增的內(nèi)容，顯然有一些教師對(duì)此較陌生.但是，經(jīng)過(guò)各種層次的培訓(xùn)，作為教師對(duì)此內(nèi)容應(yīng)該很熟悉才對(duì).這也暴露出培訓(xùn)工作不到位，我們的一線教師對(duì)新增內(nèi)容的學(xué)習(xí)主動(dòng)性還不夠.“簡(jiǎn)單復(fù)合法”是將兩步試驗(yàn)簡(jiǎn)單分割成兩個(gè)一步試驗(yàn)進(jìn)行概率大小判斷的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).文[2]對(duì)教師所犯的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)將近20%的教師犯的是“簡(jiǎn)單復(fù)合法”的錯(cuò)誤.以1899年法國(guó)學(xué)者貝特朗提出的著名悖論為背景，考察教師對(duì)概率的公理化定義的理解情況.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)貝特朗悖論能給出正確解釋的人數(shù)只占11.8%.顯然，只有很少教師掌握了概率的公理化定義.進(jìn)一步了解那些做錯(cuò)或未作回答的教師的原因，他們認(rèn)為這個(gè)悖論主要是由于樣本空間每個(gè)元素發(fā)生可能性不相等造成的.顯然，教師在分析時(shí)使用了與概率古典定義類比的方法，而忽視了古典定義中“樣本空間元素是有限個(gè)”這個(gè)條件，進(jìn)而錯(cuò)誤地使用了概率的古典定義.這表明許多教師沒有掌握概率的公理化定義.我們知道這個(gè)悖論產(chǎn)生的原因是三種解法所對(duì)應(yīng)的樣本空間不同，則所作的等可能假設(shè)也不同，因此它們屬于三個(gè)不同的隨機(jī)試驗(yàn)，顯然對(duì)應(yīng)的三種解法都是正確的.同一個(gè)問(wèn)題，由于構(gòu)造不同的樣本空間，可以有不同的概率值，這正是概率公理化定義的內(nèi)涵所在.

　　(2)對(duì)概率、頻率和機(jī)會(huì)的理解通過(guò)考查教師對(duì)概率、頻率和機(jī)會(huì)三個(gè)概念的理解，發(fā)現(xiàn)有73.5%的人答對(duì)，有25%的人答錯(cuò)，1.5%的人未答.這表明，他們中有約26.5%的人不知道這三個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系.事實(shí)上，機(jī)會(huì)與概率的意義是一致的，都表示事件發(fā)生的可能性大小.頻率與概率是一對(duì)有密切聯(lián)系的概念，概率是一個(gè)定值(常數(shù))，而頻率是一個(gè)不定值，它由每次試驗(yàn)結(jié)果決定.當(dāng)重復(fù)大數(shù)次試驗(yàn)時(shí)，頻率依概率穩(wěn)定于一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值即為概率值，即隨機(jī)事件的頻率是與我們已進(jìn)行的試驗(yàn)有關(guān)的，而隨機(jī)事件的概率卻完全客觀存在，所以說(shuō)頻率不完全等于概率.

　　(3)對(duì)概率值的解釋及其應(yīng)用能力關(guān)于教師對(duì)概率值的理解，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有47.1%的人答對(duì)，將近30%的人憑經(jīng)驗(yàn)和直覺來(lái)作出錯(cuò)誤的判斷，還有7.3%的人拿不定主意，缺乏統(tǒng)計(jì)觀念，而且11.8%的人缺少隨機(jī)觀念.有一半的教師認(rèn)為概率為0的事件一定不可能發(fā)生以及概率為1的事件一定發(fā)生，還有19.1%的教師認(rèn)為不一定，其中有13.2%的人沒有舉例，4.4%的教師的理由是隨機(jī)事件A的概率P(A)的范圍是0≤P(A)≤1.由此可知，很多教師不能對(duì)一個(gè)概率值進(jìn)行合理的解釋，同時(shí)也缺乏隨機(jī)和統(tǒng)計(jì)的思想.在對(duì)概率值理解的基礎(chǔ)上，利用概率值進(jìn)行決策的能力方面，調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，有30.9%的教師回答正確，他們的理由是根據(jù)下雨的概率值的大小;有29.4%的人不論下雨的概率多大都帶傘，他們的理由是以防萬(wàn)一，有備無(wú)患;有7.4%的人受“今天的降水概率是20%，結(jié)果下雨了”這句話的影響，認(rèn)為天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn);其余的經(jīng)訪談得知他們是憑著自己的經(jīng)驗(yàn)或直覺作出決定的.總之，教師多以自己的經(jīng)驗(yàn)或直覺進(jìn)行判斷，而沒有從概率統(tǒng)計(jì)的角度考慮問(wèn)題，缺乏相應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解.

　　(4)對(duì)小概率事件、條件概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的理解以虛假?gòu)V告為背景考查教師對(duì)小概率事件的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)做出正確答案的教師只有7.4%，表明教師對(duì)小概率事件的理解不到位.實(shí)際上，我們可以從以下2個(gè)方面來(lái)理解“小概率事件”：①小概率事件在單次試驗(yàn)中很難發(fā)生，幾乎不可能發(fā)生的;②小概率事件在不斷的重復(fù)試驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生.對(duì)條件概率的理解，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)將近60%的教師要么結(jié)果不對(duì)，要么答錯(cuò).還有將近40%的人未作回答.經(jīng)訪談得知，他們不會(huì)回答，不知道這道題屬于哪一種概率類型，無(wú)從下手.可以看出，教師對(duì)條件概率這一知識(shí)幾乎是空白.關(guān)于教師對(duì)互斥事件和相互獨(dú)立事件的理解，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，只有2.9%的人答對(duì)，有36.8%的人未作回答.經(jīng)訪談了解到他們覺得似是而非，說(shuō)不好.可見多數(shù)教師對(duì)這兩個(gè)概念理解得不好.

　　(5)對(duì)概率值大小的比較設(shè)置了3道題來(lái)考查教師對(duì)概率值大小的理解.調(diào)查中盡管有72.1%的教師答對(duì)，但仍有將近30%的人憑直覺進(jìn)行判斷，從而作出錯(cuò)誤的判斷.可見相當(dāng)數(shù)量的教師具有樸素的隨機(jī)思想，依靠自身的直覺和經(jīng)驗(yàn)作判斷.考查教師對(duì)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的枚舉能力和“等可能性偏見”等錯(cuò)誤概念的使用上，正確率為66.2%，可見有一部分教師存在“等可能性偏見”.

　　3.2統(tǒng)計(jì)知識(shí)掌握情況

　　(1)對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的理解考查教師對(duì)平均數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和直方圖的理解，有67.6%的教師答對(duì)，有26.5%的教師作出錯(cuò)誤的解釋.說(shuō)明他們對(duì)眾數(shù)的概念理解得不好.考察教師對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的理解運(yùn)用能力，結(jié)果表明只有35.3%的教師答對(duì)，多達(dá)39.7%的教師選擇錯(cuò)誤的答案.這表明他們對(duì)中位數(shù)這個(gè)概念理解得不好.考查教師對(duì)統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用表明，除了不知道理由的22人之外，絕大多數(shù)教師的判斷依據(jù)包括以下3種情況：①只從平均數(shù)這一個(gè)角度考慮，有17.6%;②從兩個(gè)角度考慮，如考慮平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差或平均數(shù)和方差，占19.1%;③從三個(gè)角度考慮，如考慮平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，也有考慮平均數(shù)、中位數(shù)和方差，占4.4%.這說(shuō)明很多教師不能從多角度考慮問(wèn)題.關(guān)于考查教師對(duì)方差應(yīng)用的理解，回答正確的只有17.6%.經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的訪談得知，絕大多數(shù)教師不清楚，有的教師說(shuō)沒學(xué)過(guò)，有的教師說(shuō)可能學(xué)過(guò)，但是忘記了.

　　(2)統(tǒng)計(jì)觀念通過(guò)設(shè)置“某藥物牙膏廣告選取一些消費(fèi)者現(xiàn)身說(shuō)法，以證明其治病的特殊效果，你相信嗎?請(qǐng)你對(duì)此發(fā)表見解”的問(wèn)題，來(lái)考查教師是否具有統(tǒng)計(jì)觀念，能否用統(tǒng)計(jì)思想方法去解釋生活中的現(xiàn)象.絕大多數(shù)教師回答“不相信”，理由各異.從抽樣角度考慮的教師雖然有45.6%，但其中有44.1%的人是想當(dāng)然，認(rèn)為抽樣不具有隨機(jī)性，只有1.5%的教師從兩個(gè)角度考慮問(wèn)題.還有22.1%的人沒有解釋理由，經(jīng)訪談得知，他們認(rèn)為很多廣告都不真實(shí)，這個(gè)當(dāng)然不例外了.有26.5%的教師未作回答，通過(guò)訪談得知，他們認(rèn)為無(wú)法判斷，可見教師非常缺乏統(tǒng)計(jì)觀念.

　　4總結(jié)與建議本研究以高中數(shù)學(xué)教師為研究對(duì)象，調(diào)查了他們對(duì)概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)的掌握情況.根據(jù)調(diào)查得到以下幾個(gè)主要結(jié)論：(1)教師較熟悉概率的古典定義和統(tǒng)計(jì)定義，對(duì)概率的幾何定義雖了解不多，但都會(huì)計(jì)算指針指向轉(zhuǎn)盤上某一扇形區(qū)域的概率.少數(shù)教師聽說(shuō)過(guò)貝特朗悖論，能夠較合理地解釋悖論，即少數(shù)教師能夠掌握概率的公理化定義.(2)教師中存在“等可能性偏見”、“預(yù)言結(jié)果法”和“簡(jiǎn)單復(fù)合法”這三種錯(cuò)誤認(rèn)知.(3)教師對(duì)條件概率、小概率事件的知識(shí)非常欠缺.(4)許多教師對(duì)相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的理解不到位，缺乏統(tǒng)計(jì)觀念.由此可知，教師的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)儲(chǔ)備不足.經(jīng)訪談可知教師的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)主要來(lái)自于教材、教學(xué)參考書和大學(xué)學(xué)習(xí).但是，教師在大學(xué)學(xué)得不透徹，而且束之高閣時(shí)間又長(zhǎng)，已所剩無(wú)幾了.鑒于此，我們提出以下建議：(1)教師要不斷加強(qiáng)有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高概率統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)，不斷摸索概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的有效途徑.(2)教師培訓(xùn)部門應(yīng)針對(duì)教師在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中存在的問(wèn)題與困惑及時(shí)開展相關(guān)培訓(xùn)，培訓(xùn)的內(nèi)容與方式應(yīng)該符合概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)踐.(3)高等師范院校概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容要緊密結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程改革，并需要設(shè)置能使準(zhǔn)教師了解學(xué)生常會(huì)出現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤概念及學(xué)習(xí)特點(diǎn)的課程.避免高等師范課程與高中教學(xué)實(shí)際的嚴(yán)重脫節(jié).