題 目：非周期函數(shù)的Fourier展開方法及其應(yīng)用

　　一、選題的目的及研究意義

　　,通過對周期函數(shù)的Fourier展開的學(xué)習(xí),對周期函數(shù)的Fourier展開有了一定的了解,但對于周期函數(shù)并沒有展開式,所以,運用周期延展,變換等手段給出在任意區(qū)間上的函數(shù)的Fourier展開方法與公式,并討論其不唯一性.

　　二、綜述與本課題相關(guān)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢、研究方法及應(yīng)用領(lǐng)域等

　　研究現(xiàn)狀:

　　Fourier 展開是18世紀(jì)逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數(shù)的傅里葉變換及其性質(zhì)。又稱調(diào)和分析。在經(jīng)歷了近2個世紀(jì)的發(fā)展之后，研究領(lǐng)域已從直線群、圓周群擴展到一般的抽象群。關(guān)于后者的研究又成為群上的傅里葉分析。傅里葉分析作為數(shù)學(xué)的一個分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展。數(shù)學(xué)中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發(fā)展過程密切相關(guān)。20世紀(jì)又出現(xiàn)了勒貝格積分理論,費耶爾求和法,盧津猜想,復(fù)變函數(shù)論方法復(fù)變函數(shù)論方法,豪斯多夫-楊定理,李特爾伍德-佩利理論,極大函數(shù),積分理論,群上的傅里葉分析等多個分析的發(fā)展.

　　發(fā)展趨勢:

　　非周期函數(shù)的Fourier展開方法在多個學(xué)科有著更廣泛的應(yīng)用,他的地位非常重要.

　　研究方法及應(yīng)用領(lǐng)域:

　　與Taylor展開相比，F(xiàn)ourier展開對于f(x)的要求要寬得多，并且它的部分與整個區(qū)間都與f(x)吻合的比較緊，因此Fourier級數(shù)是比冪函數(shù)更有力，適用于更廣的工具，它在聲學(xué)，光學(xué)，熱力學(xué)，電學(xué)等領(lǐng)域極具研究價值，在微分方程求解方面更是起著基本的作用，可以說，F(xiàn)ourier級數(shù)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析學(xué)中占有核心地位。

　　三、對本課題將要解決的主要問題及解決問題的思路與方法、擬采用的研究方法(技術(shù)路線)或設(shè)計(實驗)方案進行說明，論文要寫出相應(yīng)的寫作提綱

　　解決問題的思路及方法:

　　討論Fourier展開的方法，F(xiàn)ourier展開在周期函數(shù)中的應(yīng)用，經(jīng)過延拓，變換等手段，應(yīng)用到非周期函數(shù)中，并討論其不唯一性。

　　思路與方法：

　　首先了解Fourier展開，展開公式，在討論引理，并對書上的例子進行研究，再利用所研究的內(nèi)容，應(yīng)用到任意區(qū)間函數(shù)上。

　　研究方法：

　　查閱資料，列出提綱，撰寫論文，自己修改，導(dǎo)師指導(dǎo)，定稿。

　　論文提綱：

　　1,對Fourier展開公式進行總結(jié);

　　2,對Fourier展開的性質(zhì)進行一些討論并證明;

　　3對Fourier展開性質(zhì)應(yīng)用于任意區(qū)間函數(shù),并列舉一定的例子.

　　四、檢索與本課題有關(guān)參考文獻資料的簡要說明

　　【1】 陳紀(jì)修、于崇華、金路�！稊�(shù)學(xué)分析》下冊，【M】北京:高等教育出版社

　　【2】 沈滿昌 《數(shù)學(xué)分析》【M】 北京:高等教育出版社

　　【3】 高尚華 《數(shù)學(xué)分析》【M】,(第三版). 北京:高等教育出版社

　　五、畢業(yè)論文進程安排

　　1、2015.3.1-2015.3.15 查閱相關(guān)資料,填寫開題報告.

　　2、2015.3.20-2015.4.10 繼續(xù)查閱資料,聯(lián)系導(dǎo)師,按照提綱要點,完成論文框架,形成論文初稿

　　3、2015.4.11-2015.4.25 獨立完成論文的撰寫

　　4、2015.4.26-2015.4.30 征求導(dǎo)師意見,對論文進行修改,并完成電子版?zhèn)愇某醺?/p>

　　5、2015.5.3-2015.5.20 嚴(yán)格按照論文統(tǒng)一格式進行修改,定稿后將論文交予指導(dǎo)老師