復(fù)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)
引入：
大家都知道，數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是我們生活和科學(xué)技術(shù)時(shí)刻離不開(kāi)的語(yǔ)言和工具。前幾天，老師遇到了這樣一個(gè)與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，大家看看該怎樣解決呢？
問(wèn)題1：已知 ，求：（1） ；（2） 。
對(duì)于第二個(gè)問(wèn)，學(xué)生可能出現(xiàn)下面幾種方案得出結(jié)論，
方案一：
方案二：
方案三：通過(guò) 可是
方案四：
你是怎么處理的，結(jié)論是什么？
第二個(gè)問(wèn)為什么沒(méi)解出來(lái)？為什么存在著使 的數(shù)，但是卻求不出來(lái)，你是怎么想的呢？
正如同學(xué)們所分析的，數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展，實(shí)數(shù)集需要擴(kuò)充。這就是本節(jié)課要研究的內(nèi)容——§3.3.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念。
應(yīng)該如何進(jìn)行數(shù)的擴(kuò)充呢？到目前為止，大家已經(jīng)知道，數(shù)系經(jīng)歷了三次擴(kuò)充，就讓我們通過(guò)回憶，從中尋找數(shù)系擴(kuò)充的方法。
請(qǐng)大家以四人為一組合作探討下面的問(wèn)題。
問(wèn)題2：數(shù)在不斷的發(fā)展，到目前為止，經(jīng)歷了三次擴(kuò)充，
�。�1）回顧數(shù)從自然數(shù)發(fā)展到實(shí)數(shù)的三次擴(kuò)充歷程。
（2）說(shuō)明數(shù)集N,Z,Q,R的關(guān)系
�。�2）分析每一次引入新數(shù)，擴(kuò)大數(shù)系的原因。
同學(xué)們說(shuō)的非常好，數(shù)的這種發(fā)展一方面是生產(chǎn)生活的需要，另一方面也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。
數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系正是通過(guò)一些運(yùn)算建立起來(lái)的，如果沒(méi)有運(yùn)算，數(shù)不過(guò)是一些孤立的符號(hào)，毫無(wú)意義，接下來(lái)讓我們從運(yùn)算的角度，進(jìn)一步討論數(shù)的擴(kuò)充。
問(wèn)題3： 對(duì)于加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方這六種運(yùn)算來(lái)說(shuō)，在以下四個(gè)數(shù)集中，
(1)任意兩個(gè)數(shù)運(yùn)算所得的結(jié)果是否仍然屬于這個(gè)數(shù)集。
(2)試著分析，引入負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，無(wú)理數(shù)對(duì)于運(yùn)算的影響。
通過(guò)不斷的引入新數(shù)，數(shù)系逐步擴(kuò)大到了實(shí)數(shù)系。 通過(guò)這個(gè)表格，我們看到，新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算律仍然適用，同時(shí)引入新數(shù)后，使得原來(lái)的某種不可以實(shí)施的運(yùn)算變得可行了。
問(wèn)題4：現(xiàn)在我們要進(jìn)行數(shù)系的再一次擴(kuò)充就是要解決什么問(wèn)題？ 怎么解決？你能具體說(shuō)一說(shuō)嗎？
同學(xué)們分析的很好，到目前為止，負(fù)數(shù)開(kāi)偶次方的問(wèn)題還沒(méi)有解決，我們不妨先來(lái)研究負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題，從運(yùn)算的角度來(lái)說(shuō)，也就是要解決方程 在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題。像大家說(shuō)的，我們可以仿照前面的做法，引入一種新數(shù)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾給這些數(shù)起名叫虛數(shù)，即 “虛的數(shù)”與“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)．這是因?yàn)樽铋_(kāi)始研究這種新數(shù)是在16世紀(jì)，而那個(gè)時(shí)候人們沒(méi)能發(fā)現(xiàn)什么事物可以支持這樣的數(shù)。
如果引入虛數(shù)，負(fù)數(shù)可以開(kāi)方了，那么 就有意義了。我們希望，引入虛數(shù)后，原來(lái)在實(shí)數(shù)集中給出的運(yùn)算規(guī)則仍能適用。例如，在引入虛數(shù)后，我們希望能把 表示成 的形式。實(shí)際上任何一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根都可以表示成一個(gè)實(shí)數(shù)與 的乘積的形式，因此，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利提出可以把 看作虛數(shù)單位。
負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)和無(wú)理數(shù)引入時(shí)，都相應(yīng)的帶來(lái)了一種新的記號(hào)，那么對(duì)于虛數(shù)，用一種什么樣的記號(hào)來(lái)表示呢？
現(xiàn)在我們規(guī)定：（1） ；（2） 。
使用 來(lái)表示 這個(gè)數(shù)，是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉在1777年，雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力，仍然不放棄對(duì)科學(xué)問(wèn)題的思索與追求的結(jié)果，從而讓虛數(shù)有了一個(gè)特征性的記號(hào)。從此，也就不在使用 表示虛數(shù)單位了，而是 了。那么 ，這種表示方法既簡(jiǎn)潔又有特點(diǎn)。
問(wèn)題5：不僅僅 是虛數(shù)吧，你還能說(shuō)出其他形式的虛數(shù)嗎？那么通過(guò)運(yùn)算，虛數(shù)可以用 表示成什么形式呢？（討論）
一．復(fù)數(shù)的定義
虛數(shù)與實(shí)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)集，我們把這個(gè)新的數(shù)集叫做復(fù)數(shù)集，記作 。這樣我們就完成了數(shù)系的又一次擴(kuò)充。我們把新的數(shù)系稱(chēng)作復(fù)數(shù)系。
該怎樣用描述法表示集合 呢？
形如 的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)，其中 叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部， 叫做復(fù)數(shù)的虛部。
一個(gè)復(fù)數(shù)是由兩部分組成的，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，反之亦然，即
問(wèn)題6：實(shí)數(shù)與虛數(shù)組成了復(fù)數(shù)，那么 這種形式，什么時(shí)候表示實(shí)數(shù)，什么時(shí)候表示虛數(shù)呢？
二．例題
例題1.判斷下列各數(shù)哪些是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，并指出它們各自的實(shí)部和虛部。
例題2．當(dāng) 取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù) 是：
（1）實(shí)數(shù) （2） 虛數(shù) （3）純虛數(shù) （4）零
結(jié)論：
三．虛數(shù)引入的必要性
通過(guò)前面的研究，大家對(duì)虛數(shù)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，然而歷史上引入虛數(shù)，可不是件容易的事，是許多數(shù)學(xué)家200多年的努力，才奠定了虛數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位。開(kāi)始很多人都不承認(rèn)虛數(shù)，就連科學(xué)家牛頓也不認(rèn)為虛數(shù)有多少意義，他認(rèn)為虛數(shù)的引入只是為了使不可解的問(wèn)題，顯得像是可以解的樣子。
他在《大術(shù)》第三十七章中，提出並解決這樣的問(wèn)題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結(jié)果為40 … 因此，將分成的兩部分應(yīng)是 5+事實(shí)并非如此，我們最開(kāi)始研究的問(wèn)題1，就是16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾研究的一個(gè)著名問(wèn)題：“將10分成兩部分，使他們的乘積等于40” 的'變形。這個(gè)問(wèn)題就說(shuō)明了虛數(shù)的存在性。
數(shù)十年后另一個(gè)意大利數(shù)學(xué)家邦貝力（R. Bombelli，1526-1573）發(fā)現(xiàn)，方程 有三個(gè)實(shí)數(shù)根4， 。邦貝力在利用三次方程求根公式求解時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)4竟然是用 來(lái)表示的。
這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步說(shuō)明了虛數(shù)不是虛無(wú)飄渺的，而是客觀存在的。
四．復(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
在十六世紀(jì)，很多數(shù)學(xué)家不認(rèn)可虛數(shù)，只不過(guò)因?yàn)槟菚r(shí)人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)還不是很深刻，負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)才剛剛接受，讓他們接受負(fù)數(shù)可以開(kāi)方就更難了。而且那時(shí)也無(wú)法在現(xiàn)實(shí)世界中找到任何可以支持虛數(shù)的事物。
不過(guò)經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的深入研究與探索，現(xiàn)在復(fù)數(shù)理論越來(lái)越完善，它的重要性也越來(lái)越明顯。在處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如代數(shù)、分析、幾何與數(shù)論等問(wèn)題中，皆可看到復(fù)數(shù)的蹤跡。
一些碎形就是基于復(fù)數(shù)理論基礎(chǔ)上的。
這個(gè)圖就是碎形——曼德勃羅集合，這是他的局部放大圖。
復(fù)數(shù)更多的應(yīng)用是作為一種數(shù)學(xué)工具，服務(wù)于各個(gè)領(lǐng)域。比如復(fù)數(shù)為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，為建立巨大水電站（如三峽水電站）提供了重要的理論依據(jù)。
復(fù)數(shù)還廣泛的應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)分支， 比如在交流電，工程力學(xué)中的計(jì)算，計(jì)算量子力學(xué)中的震蕩波產(chǎn)生的影響，等等。
五．師生小結(jié)
那么，通過(guò)這堂課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？
今天我們的學(xué)習(xí)僅僅是打開(kāi)了研究復(fù)數(shù)的大門(mén)，對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)還是膚淺的，在今后的學(xué)習(xí)中，大家再慢慢體會(huì)復(fù)數(shù)的作用。
板書(shū)：
§3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念
一． 虛數(shù)
1． 虛數(shù)單位
2． 虛數(shù)的表示形式
二． 復(fù)數(shù)
1． 概念：形如 的數(shù)， 叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部， 叫做復(fù)數(shù)的虛部。
2． 性質(zhì)：
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