北師大九年級下冊數(shù)學期中考試題
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1.在直角三角形 中，如果各邊長度都擴大到原來的2倍，則銳角 的正弦值和正切值（ ）
A.都縮小到原來的 B.都擴大到原來的2倍
C.都沒有變化 D.不能確定
2.如，菱形 的對角線 =6， =8，∠ = ，則下列結論正確的是（ ）
A.sin = B.cos = C.tan = D.tan =
3.如，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶ ，堤高BC=10 m，則坡面AB的長度是（ ）
A.15 m B.20 m C.20 m D.10 m
4.如，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，則點 到 的距離是（ ）
A.10-5 B.5+5 C.15-5 D.15-10
5.（2015貴州銅仁中考）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如所示的平面直角坐標系，其函數(shù)的關系式為y=- ，當水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4 m時，這時水面寬度AB為（ ）
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
6.用配方法將函數(shù) = 2-2 +1寫成 = ( - )2+ 的形式是（ ）
A. = ( -2)2-1 B. = ( -1)2-1
C. = ( -2)2-3 D. = ( -1)2-3
7.如所示，二次函數(shù) = 2-4 +3的象與 軸交于 ， 兩點，與 軸交于 點，則△ 的面積為（ ）
A. B. C. D. 第7題
8.上午9時，一船從 處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30 分到達 處，如所示，從 ， 兩處分別測得小島 在北偏東45°和北偏東15°方向，那么 處與小島 的距離為（ ）
A.20海里 B.20 海里
C.15 海里 D.20 海里
9.函數(shù) 的部分象與 的交點分別為A（1，0），B（0，3），對稱軸是 ，在下列結論中，錯誤的是（ ）
A.頂點坐標為（-1，4）
B.函數(shù)的表達式為
C.當
D.拋物線與 軸的另一個交點是（-3，0） 第8題
10. （2015山東濰坊中考）已知二次函數(shù)y= +bx+c+2的象如所示，頂點為
(-1，0)，下列結論：
�、賏bc<0；② -4ac="0；③a">2；④4a-2b+c>0.
其中正確結論的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4 第10題
二、填空題（每小題3分，共24分）
11.在離旗桿20 m的地方用測角儀測得旗桿桿頂?shù)难鼋菫?，如果測角儀高1.5 m，那么旗桿的高為________m.
12.如果sin = ，則銳角 的余角是__________.
13.（湖北襄陽中考）如，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺CD的高度為5 m，則大樹的高度為 m.（結果保留根號）
14.如，在離地面高度為5 m的 處引拉線固定電線桿，拉線與地面成 角， 則拉線 的長為__________m(用 的三角函數(shù)值表示).
15.中陰影部分的面積相等的是 .
第15題
16.如，已知拋物線 經(jīng)過點（0，－3），請你確定一個 的值使該拋物線與 軸的一個交點在(1，0)和(3，0)之間，你所確定的 的值是 ．
第18題
17.某涵洞是拋物線形，它的截面如所示，現(xiàn)測得水面寬 =1.6 m，涵洞頂點 到水面的距離為2.4 m，在中直角坐標系內，涵洞所在拋物線的函數(shù)表達式是___________.
18.（2015山東濰坊中考）觀光塔是濰坊市區(qū)的標志性建筑.為測量其高度，如，一人先在附近一樓房的底端Ａ點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°，已知樓房高AB約是45 m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CD是______m.
三、解答題（共66分）
19.(7分)計算:6tan230°－cos 30°tan 60°－2sin 45°+cos 60°.
20.(7分)如，李莊計劃在山坡上的 處修建一個抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 處的距離 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大氣壓的.影響，此種抽水泵的實際吸水揚程 不能超過10米，否則無法抽取水池中的水， 試問抽水泵站能否建在 處?
第20題 第21題
21.(8分)如，有一座拋物線形拱橋，橋下面正常水位時AB寬20 m，水位上升3 m就達到警戒線CD，這時水面寬度為10 m.
(1)在如所示的平面直角坐標系中求拋物線的表達式.
(2)若洪水到來時，水位以每小時0.2 m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到達拱橋頂?
22.(8分)某電視塔 和樓 的水平距離為100 m，從樓頂 處及樓底 處測得塔頂 的仰角分別為45°和60°，試求樓高和電視塔高(精確到0.1 m).
第22題
23.(8分)如所示，一個運動員推鉛球，鉛球在點A處出手，出手時球離地面約 .鉛球落地點在B處，鉛球運行中在運動員前4 m處(即 m)達到最高點，最高點高為3 m.已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線，根據(jù)示的直角坐標系，你能算出該運 動員的成績嗎?
24.（8分）（2015廣東珠海中考）已知拋物線y=a bx+3的對稱軸是直線x=1.
�。�1）求證：2a+b=0；
�。�2）若關于x的方程a +bx-8＝0的一個根為4，求方程的另一個根.
25.(10分)如，某海域有兩個海拔均為200米的海島A和海島B，一勘測飛機在距離海平面垂直高度為1 100米的空中飛行，飛行到點C處時測得正前方一海島頂端A的俯角是60°，然后沿平行于AB的方向水平飛行1.99×104米到達點D處，在D處測得正前方另一海島頂端B的俯角是45°，求兩海島間的距離AB.
26.（10分）（杭州中考）復習課中，教師給出關于x的函數(shù)y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是實數(shù)）.
教師：請獨立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關的結論（性質）寫到黑板上.
學生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結論，教師作為活動一員，又補充一些結論，并從中選擇如下四條：
�、俅嬖诤瘮�(shù)，其象經(jīng)過（1，0）點；
�、诤瘮�(shù)象與坐標軸總有三個不同的交點；
③當x>1時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小；
�、苋艉瘮�(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負數(shù).
教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由.最后簡單寫出解決問題時所用的數(shù)學方法.
參考答案
一、選擇題
1.C 解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念知:如果各邊的長度都擴大到原來的2倍，那么銳角 的各三角函數(shù)沒有變化．故選C．
2.D 解析：菱形 的對角線 =6， =8，
則 ⊥ ，且 =3， =4．
在Rt△ 中，根據(jù)勾股定理得 =5，
則sin = ，cos = ，tan = ，故選D．
3. C 解析：在Rt△ABC中，BC=10 m，tan A=1∶ .
∴ AC=BC÷tan A=10 （m），
∴ AB= =20（m）.
4.C 解析：如，過點A作AD⊥BC于點D.
在Rt△ 中，∠ =60°，∴ = ．
在Rt△ 中，∠ =45°，∴ = . 第4題答
∵ BC=BD+CD,BC=10，∴ 10= + ,解得 =15﹣5 ．
故選C．
5. C 解析：已知OD=4 m，故點B的縱坐標為-4．
設點B的坐標為（x,-4）.把y=-4代入y=- ，得x=10（負值舍去）．
即水面寬度AB為20 m．
6.A 解析： = 2﹣2 +1= （ 2﹣4 +4）﹣2+1= （ ﹣2）2﹣1.故選A．
7.C 解析：由表達式 = 2-4 +3=（ -1）（ -3），
則與 軸交點坐標為 （1，0）， （3，0）.
令 =0，得 =3，即 （0，3）.
∴ △ 的面積為
8.B 解析：如，過點 作 ⊥ 于點 ． 第8題答
根據(jù)題意，得 =40× =20（海里），∠ =105°．
在Rt△ 中， = 45°=10 （海里）．
在Rt△ 中，∠ =60°，則∠ =30°，
所以 =2 =20 （海里）．故選B．
9. C 解析：將A（1，0），B（0，3）分別代入表達式,得
解得 則函數(shù)表達式為 .
將 =-1代入表達式可得其頂點坐標為（-1，4）.
當 =0時可得 ，
解得
可見，拋物線與 軸的另一個交點是（-3，0）.
當 ＜-1時， 隨 的增大而增大．
可見，C答案錯誤．故選C．
10.Ｂ 解析：∵ 函數(shù)象開口向上，∴ a＞0.
又∵ 頂點為（-1,0），∴ - =-1，∴ b=2a＞0.
由拋物線與y軸的交點坐標可知:c+2＞2，∴ c＞0，∴ abc＞0，故①錯誤.
∵ 拋物線頂點在x軸上，∴ -4a（c+2）=0,故②錯誤.
∵ 頂點為（-1,0），∴ a-b+c+2=0.
∵ b=2a, ∴ a=c+2. ∵ c＞0, ∴ a＞2,故③正確.
由拋物線的對稱性可知x=-2與x=0時函數(shù)值相等，∴ 4a-2b+c+2＞2,
∴ 4a-2b+c＞0,故④正確.
二、填空題
11.（1.5+20tan ） 解析：根據(jù)題意可得：旗桿比測角儀高20tan m，測角儀高1.5 m，
故旗桿的高為（1.5+20tan ）m．
12.30° 解析：∵ sin = ， 是銳角，∴ =60°．
∴ 銳角 的余角是90°﹣60°=30°．
13.(5+5 ) 解析：過點C作CE⊥AB于點E，
在Rt△BCE中，BE=CD=5 m，
CE= =5 m.
在Rt△ACE中，AE=CEtan 45°=5 m，
AB=BE+AE=（5+5 ）m.
點撥：本題考查了仰角、俯角問題的應用，要求能借助仰角或俯角構造直角三角形，并通過解直角三角形求解．
14. 解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ，
∴ = (m)．
15.②③ 解析：①中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標軸只有一個交點（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；
�、谥兄本�y=-x+2與坐標軸的交點坐標為（2，0），（0，2），故S陰影= ×2×2=2；
�、壑械暮瘮�(shù)是反比例函數(shù)，陰影部分的面積為S= xy= ×4=2；
�、冖鄣拿娣e相等.
�、苤校瑨佄锞�與坐標軸交于（-1，0），（1，0），（0，-1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積S= ×2×1=1.
點撥：解答本題首先根據(jù)各形的函數(shù)表達式求出函數(shù)與坐標軸交點的坐標，求得各個陰影部分的面積，進而可比較出各陰影部分面積的大小關系，熟練掌握各函數(shù)的象特點是解決問題的關鍵．
16. （答案不唯一） 解析：由題意可知 要想拋物線與 軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間，只需 和 異號即可，所以
17. = 2 解析：設函數(shù)表達式為 = 2（a≠0），
點 坐標應該是（﹣0.8，﹣2.4），
則有﹣2.4=（﹣0.8）2 ，
即 =﹣ ，即 =﹣ 2．
18. 135 解析：在Rt△ABD中，∠BAD=90°, = ,
∵ ∠ADB=30°，AB=45 m,∴ = ,∴ AD=45 m.
在Rt△ADC中，∠ADC=90°, = ,
∵ ∠CAD=60°，AD=45 m, ∴ = ,∴ DC=135 m.
三、解答題
19.解：原式= .
20.解：∵ =50米，∠ =15°，
又sin∠ = ，
∴ = sin∠ = 50sin 15°≈13(米) 10米，
故抽水泵站不能建在 處.
21.解：設其函數(shù)表達式為 = 2（a≠0），設拱橋頂?shù)骄渚�的距離為 m，
則 點坐標為(-5， - ， 點坐標為(-10，- -3)，
故有 解得
所以， (1)拋物線的表達式為 = 2.
(2)1÷0.2=5(h).
22.解：設 = m，∵ =100 m，∠ =45°，
∴ tan 45°=100 m.∴ =(100+ )m.
在Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°，
∴ tan 60°= ，
∴ = ，即 +100=100 ， =100 -100 73.2(m)，
即樓高約為73.2 m，電視塔高約為173.2 m.
23．解:能.∵ OC=4 m,CD=3 m，∴ 頂點 坐標為(4，3).
設 +3（a≠0），把 代入上式，得 ，
∴ ，
∴ 即 .
令 ，得 ∴ (舍去)， [來源:Z§xx§k.Com]
故該運動員的成績?yōu)?.
24.（1）證明：由拋物線y=a +bx+3的對稱軸為x=1得，
�。�1.∴ 2a+b=0.
�。�2）解：因為拋物線y=a +bx-8與y=a +bx+3有相同對稱軸x=1，
且方程a +bx-8=0的一個根為4.
設a +bx-8=0的另一個根 ，則滿足：4+ = .
∵ 2a+b=0,即b=-2a,
∴ 4+ =2，∴ =-2.
25.分析：首先過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，連接AB,易得四邊形ABFE為矩形.根據(jù)矩形的性質，可得AB=EF，AE=BF.由題意可知：AE=BF=1 100-200＝900(米)，CD=1.99×104米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數(shù)即可求得CE與DF的長，繼而求得兩海島間的距離.
解：如，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD，交CD的延長線于點F，連接AB.∵ AB∥CD,
∴ ∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴ 四邊形ABFE為矩形，∴ AB=EF，AE=BF.
由題意可知：AE=BF=1 100-200=900(米)，
CD=1.99×104米＝19 900米.
∴ 在Rt△AEC中，∠C=60°,AE=900米,
∴ CE= = =300 （米）.
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=900米，
∴ DF= = =900（米）.
∴ AB=EF=CD+DF-CE=19 900+900-300 =20 800-300 （米）.
答：兩海島之間的距離AB是(20 800-300 ）米.
點撥：此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質．注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形是求解此題的關鍵，注意數(shù)形結合思想的應用.
26.分析：①把x=1，y=0代入函數(shù)表達式，存在k值即可.②需要考慮函數(shù)是一次函數(shù)的情況.③分k=0，k<0，k>0三種情況進行討論.④由題意知k≠0，分k<0，k>0兩種情況進行討論.
解：①真命題，當k=0時，y=2kx2-（4k+1）x-k+1=-x+1，此時象經(jīng)過點（1，0）.
�、诩倜}，如①當k=0時，y=-x+1,y為關于x的一次函數(shù),此時象與坐標軸有兩個交點.
�、奂倜}，分情況討論：當k=0時，y=-x+1，在x>1時，y隨x的增大而減��；當k<0時，二次函數(shù)的象開口向下，對稱軸為x=1+ <1，由象可知，在x>1時，y隨x的增大而減小；當k>0時，二次函數(shù)的象開口向上，對稱軸為x=1+ >1，所以在1<x≤1+ 時，y隨x的增大而減小，在x＞1+ 時，y隨x的增大而增大.
綜上，當k>0時，結論不成立.
④真命題，若函數(shù)有最值，則必然是二次函數(shù)，此時k≠0，Δ=24k2+1>0，二次函數(shù)的象與x軸有兩個交點.當取得最大值時，二次函數(shù)的象開口向下，最大值必為正數(shù)；當取得最小值時，二次函數(shù)的象開口向上，最小值必為負數(shù).所用到的數(shù)學方法：數(shù)形結合思想、方程思想等.
點撥：本題是關于二次函數(shù)象與性質的辨別是非題，掌握二次函數(shù)的象與性質并分類討論是解題的關鍵.
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