初中“變量與函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)
“變量與函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)
一．內(nèi)容和內(nèi)容解析
【內(nèi)容】變量與函數(shù)的概念
【內(nèi)容解析】“14.1變量與函數(shù)”是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級上冊第十四章第一單元，本設(shè)計(jì)是第1課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念，其中函數(shù)的概念是本節(jié)核心內(nèi)容．函數(shù)概念的核心是兩個(gè)變量間的特殊對應(yīng)關(guān)系：（1）由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量；（2）唯一對應(yīng)關(guān)系.如果直接研究某個(gè)量y有一定困難，我們可以去研究另一個(gè)與之有關(guān)的量x，從而達(dá)到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想．
本節(jié)課是函數(shù)入門課，首先必須準(zhǔn)確認(rèn)識變量與常量的特征，初步感受到現(xiàn)實(shí)世界各種變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性，同時(shí)感受到研究主要從化繁就簡入手，在初中階段主要研究兩個(gè)變量之間的特殊對應(yīng)關(guān)系．本設(shè)計(jì)把重點(diǎn)放在認(rèn)識“兩個(gè)變量間的特殊對應(yīng)關(guān)系：由哪一個(gè)變量確定另一變量；唯一確定的含義．” 而函數(shù)圖象較為直觀形象，有助于學(xué)生理解函數(shù)的概念，因此把函數(shù)圖象中的部分內(nèi)容提前到本課時(shí)學(xué)習(xí)．
二．目標(biāo)和目標(biāo)解析
【目標(biāo)】理解常量、變量與函數(shù)的概念．
【目標(biāo)解析】
�。ǎ保┙柚唵螌�(shí)例，學(xué)生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數(shù)學(xué)問題，能指出具體問題中的常量、變量．初步理解存在一類變量可以用函數(shù)方式來刻畫，能舉出涉及兩個(gè)變量的實(shí)例，并指出由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量，這兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系．初步理解對應(yīng)的思想，體會函數(shù)概念的核心是兩個(gè)變量之間的特殊對應(yīng)關(guān)系，能判斷兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系．
�。ǎ玻┙柚唵螌�(shí)例，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體會從生活實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)知識的方法，感知現(xiàn)實(shí)世界中變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)研究從最簡單的情形入手，化繁為簡.
�。ǎ常⿵膶W(xué)生熟悉、感興趣的實(shí)例引入課題，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識的樂趣．學(xué)生初步感知實(shí)際生活蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識，感知數(shù)學(xué)是有用、有趣的學(xué)科.
三、教學(xué)問題診斷分析
變量與函數(shù)的概念把學(xué)生由常量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)引入變量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中．學(xué)生知道代數(shù)式中的字母可以表示數(shù)，方程中的'未知數(shù)求出來后也是一個(gè)“已知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數(shù)，另外，
學(xué)生在日常生活中也接觸到函數(shù)圖象、兩個(gè)變量的關(guān)系等樸素的函數(shù)關(guān)系的生活實(shí)例．但是學(xué)生初次接觸函數(shù)的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準(zhǔn)確含義．
【教學(xué)重點(diǎn)】借助簡單實(shí)例，從兩個(gè)變量間的特殊對應(yīng)關(guān)系抽象出函數(shù)的概念．
【教學(xué)難點(diǎn)】怎樣理解“唯一對應(yīng)”．
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬⿲�(dǎo)言：
1.《名偵探柯南》中有這樣一個(gè)情景：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？
2.我們班中同學(xué)A與職業(yè)相撲運(yùn)動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？
問題1中都涉及兩個(gè)量的關(guān)系，腳印確定，對應(yīng)的身高有多個(gè)取值；問題2涉及多個(gè)量的關(guān)系．這一節(jié)課我們研究兩個(gè)量的關(guān)系，研究怎樣由一個(gè)量來確定另一個(gè)量．
【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的生活入手，開門見山，在極短的時(shí)間(一兩分鐘)內(nèi)指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．現(xiàn)實(shí)世界中各種量之間的聯(lián)系紛繁復(fù)雜，應(yīng)向?qū)W生說明我們數(shù)學(xué)的研究方法是化繁就簡，本節(jié)課只關(guān)注一類簡單的問題．
�。ǘ└拍畹囊�
1.票房收入問題：每張電影票的售價(jià)為10元.
（1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是 元；若售出205張、310張呢？
�。�2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y= .
思考：
�。�1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨 的變化而變化；
�。�2）當(dāng)售出票數(shù)x取定一個(gè)確定的值時(shí)，對應(yīng)的票房收入y的取值是否唯一確定？
2．成績問題：如圖是某班同學(xué)一次數(shù)學(xué)測試中的成績登記表：這一次數(shù)學(xué)測試中，13號的成績?yōu)開_____；15號的成績?yōu)開_____；16號的成績?yōu)開_____；23號的成績?yōu)開_____．
思考：
�。�1）測試成績隨________的變化而變化；
�。�2）任意確定一個(gè)學(xué)號x，對應(yīng)的成績f的取值是否唯一確定？
3.氣溫問題：圖一是撫順春季某一天的氣溫Ｔ隨時(shí)間t變化的圖象，看圖回答：
�。�1）這天的8時(shí)的氣溫是℃，14時(shí)的氣溫是℃，最高氣溫是℃，最低氣溫是℃；
（3）這一天中，在4時(shí)~12時(shí)，氣溫（），在16時(shí)~24時(shí)，氣溫（）.
A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低C.持續(xù)不變
思考：
�。�1）天氣溫度隨的變化而變化，即T隨 的變化而變化；
�。�2）當(dāng)時(shí)間t取定一個(gè)確定的值時(shí)，對應(yīng)的溫度T的取值是否唯一確定？
【設(shè)計(jì)意圖】這三個(gè)問題中都含有變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系，通過研究這些問題引出常量、變量、函數(shù)等概念，通過這種從實(shí)際問題出發(fā)開始討論的方式，使學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象地認(rèn)識過程.問題的形
式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數(shù)關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法.
�。ㄈ└拍畹慕缍�
思考：上述三個(gè)問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？通過哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？
在上面的三個(gè)問題中，其中一個(gè)量的變化引起另一個(gè)量的變化（按照某種規(guī)律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價(jià)10元??）．并且當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就隨之確定，且它的對應(yīng)值只有一個(gè)．
教師根據(jù)學(xué)生的回答，在黑板上板書：
師生對上述三個(gè)問題進(jìn)行分析，找出它們的共性，歸納出函數(shù)的概念．
【設(shè)計(jì)意圖】(1)如何把具體的實(shí)例進(jìn)行抽象，形式化為數(shù)學(xué)知識是本課的關(guān)鍵．這里提出的問題“上述三個(gè)問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？通過哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？”是一個(gè)關(guān)鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識為什么要引進(jìn)變量、常量、函數(shù)的概念，逐步了解如何給數(shù)學(xué)概念下定義．(2)此處板書是“腳手架”的重要組成部分，揭示“兩個(gè)量的對應(yīng)關(guān)系”．
問題回顧：指出前面三個(gè)問題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數(shù).
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固常量、變量、自變量、函數(shù)的概念．
例1 一個(gè)三角形的底邊為5，這一邊上的高h(yuǎn)可以任意伸縮．
�。ǎ保└遠(yuǎn)的變化會引起三角形中哪些量發(fā)生變化？這些變量是高h(yuǎn)的函數(shù)嗎？
�。ǎ玻┰嚽竺娣es隨h變化的關(guān)系式，并指出其中的常量、變量與自變量。
例2如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些變量是半徑r的函數(shù)嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動態(tài)演示．此兩例引導(dǎo)學(xué)生體會幾何問題中兩個(gè)變量在動態(tài)變化過程中的依存關(guān)系．
例３ 問題1中，售出票數(shù)是票房的函數(shù)嗎？問題２中，學(xué)號x是成績f的函數(shù)嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】（１）引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維的角度進(jìn)行思考，更全面地理解函數(shù)的概念．（２）培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的習(xí)慣．（３）讓學(xué)生對這三個(gè)問題留下更深刻的印象，特別是“成績問題，”它將在函數(shù)這一章書的教學(xué)中反復(fù)被引用，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的概念．
（四）概念鞏固
1．購買一些簽字筆，單價(jià)3元，總價(jià)為y元，簽字筆為x支，根據(jù)題意填表：
�。�1）y隨x變化的關(guān)系式y(tǒng) = ， 是自變量， 是 的函數(shù)；
�。�2）當(dāng)購買8支簽字筆時(shí)，總價(jià)為元.
2.周末，小李8時(shí)騎自行車從家里出發(fā)，到野外郊游，16時(shí)回到家里.他離開家后的距離s（千米）與時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系如圖所示
.
�。�1）當(dāng)t=12時(shí)，s=________；當(dāng)t=14時(shí)，s=________；
�。�2）小李從______時(shí)開始第一次休息，休息時(shí)間為____小時(shí)，此時(shí)離家______千米.
（3）距離s是時(shí)間t的函數(shù)嗎？時(shí)間t是距離s的函數(shù)嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】（1）例題和鞏固練習(xí)，鞏固變量與函數(shù)等概念，讓學(xué)生充分體會到許多問題中的變量關(guān)系都存在著函數(shù)關(guān)系，隱含著在函數(shù)關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法.（2）練習(xí)二2(4)從逆向思維的角度提出具有實(shí)際背景的問題有利于學(xué)生理解函數(shù)的“單值對應(yīng)關(guān)系”，有利于學(xué)生明確“由哪一個(gè)量能唯一確定另一個(gè)量”，讓學(xué)生養(yǎng)成多角度思考的習(xí)慣．
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